Contoh Soal Persamaan Diferensial Eksak LENGKAP

Pada bagian ini, kami akan memberikan berbagai contoh soal persamaan diferensial eksak yang lengkap untuk meningkatkan pemahaman dan keterampilan Anda dalam menyelesaikan persamaan diferensial. Persamaan

Dwiyantono

Contoh Soal Persamaan Diferensial Eksak

Pada bagian ini, kami akan memberikan berbagai contoh soal persamaan diferensial eksak yang lengkap untuk meningkatkan pemahaman dan keterampilan Anda dalam menyelesaikan persamaan diferensial. Persamaan diferensial adalah persamaan matematika yang memperlihatkan hubungan antara beberapa variabel dan turunan yang berkaitan dengan variabel tersebut. Penyelesaian persamaan diferensial adalah salah satu aplikasi penting dalam matematika, fisika, dan bidang teknik lainnya. Dalam contoh soal persamaan diferensial eksak ini, Anda akan melihat bagaimana menerapkan rumus-rumus untuk menyelesaikan persamaan diferensial, sehingga Anda dapat memahami konsep dan teknik yang diperlukan.

Penyelesaian Persamaan Diferensial Eksak

Pada bagian ini, Anda akan belajar metode dan langkah-langkah dalam penyelesaian persamaan diferensial eksak. Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan diferensial eksak adalah dengan menggunakan faktor integrasi. Faktor integrasi membantu mereduksi persamaan diferensial menjadi bentuk yang lebih sederhana.

Langkah pertama dalam menggunakan faktor integrasi adalah dengan mengidentifikasi persamaan sebagai persamaan diferensial eksak yang sesuai. Setelah itu, Anda perlu mencari faktor integrasi dengan mengintegrasi faktor umum dari persamaan eksak. Selanjutnya, faktor integrasi digunakan untuk mengalikan seluruh persamaan eksak. Dengan melakukan langkah ini, kita dapat menemukan persamaan diferensial eksak yang sederhana yang dapat diselesaikan dengan lebih mudah.

Selain menggunakan faktor integrasi, ada juga teknik lain yang dapat Anda gunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial eksak, yaitu metode pecahan parsial, substitusi, dan faktorisasi. Dengan menggunakan teknik-teknik ini, Anda dapat menyelesaikan persamaan diferensial eksak yang lebih kompleks.

Rumus Persamaan Diferensial Eksak

Pada bagian ini, Anda akan menemukan rumus-rumus yang digunakan dalam penyelesaian persamaan diferensial eksak. Dalam persamaan diferensial, ekspresi aljabar sangat penting dalam menyelesaikan masalah. Beberapa rumus yang perlu dipahami di antaranya adalah:

RumusFungsi
x(t)merupakan fungsi tak terhingga pada variabel waktu t
y(x)merupakan fungsi tak terhingga pada variabel x
P(x,y)merupakan persamaan diferensial dalam bentuk fungsional Pdx + Qdy = 0
Q(x,y)merupakan persamaan diferensial dalam bentuk fungsional Pdx + Qdy = 0

Dalam persamaan diferensial eksak, rumus-rumus tersebut sangat diperlukan untuk mencari solusi dari persamaan diferensial. Oleh karena itu, memahami dan menguasai rumus-rumus tersebut menjadi kunci dalam menyelesaikan masalah persamaan diferensial.

Contoh Persamaan Diferensial Eksak

Pada bagian ini, Anda akan menemukan contoh-contoh persamaan diferensial eksak sebagai contoh dalam menerapkan rumus yang telah dipelajari sebelumnya dalam menyelesaikan persamaan diferensial eksak. Berikut adalah beberapa contoh:

No.Persamaan Diferensial EksakSolusi
1y dx + (x + y)dy = 0(x^2+ y^2 + C) = 2xy
2(2x + y)dx + xdy = 0(x^2 + xy + C) = Const.

Dalam contoh pertama, persamaan diferensial dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (x^2+ y^2 + C) = 2xy dan dalam contoh kedua, persamaan diferensial dapat diselesaikan dengan menjadikan (x^2 + xy + C) sebagai konstanta.

Metode Eksak Persamaan Diferensial

Pada bagian ini, kita akan membahas metode eksak yang digunakan dalam penyelesaian persamaan diferensial. Metode ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial eksak dengan mengidentifikasi persamaan diferensial yang tepat dan kemudian menerapkannya pada teknik tertentu untuk mendapatkan solusi eksaknya.

Ada beberapa teknik penting yang digunakan dalam metode eksak, yaitu:

  • Mengidentifikasi persamaan diferensial eksak
  • Menyesuaikan faktor integrasi
  • Menggunakan rumus Simpson
  • Menemukan solusi umum persamaan diferensial

Dengan menggunakan kombinasi teknik-teknik ini, kita dapat memecahkan persamaan diferensial eksak dengan akurasi tinggi dan mendapatkan solusi persamaan sesuai dengan kebutuhan kita.

Contoh Soal Persamaan Diferensial Eksak

Bagian ini akan memberikan beberapa contoh soal persamaan diferensial eksak untuk melatih keterampilan Anda dalam menyelesaikan persamaan diferensial.

Contoh Soal 1:

Tentukan solusi dari persamaan diferensial eksak berikut ini:

(2x + y) dx + (x + 2y) dy = 0

Jawaban:

Langkah 1:

Diketahui persamaan diferensial eksak berikut: (2x + y) dx + (x + 2y) dy = 0

Langkah 2:

Hitung ∂M/∂y dan ∂N/∂x

∂M/∂y = 1

∂N/∂x = 1

Langkah 3:

Periksa apakah ∂M/∂y sama dengan ∂N/∂x

Karena ∂M/∂y = ∂N/∂x, maka persamaan diferensial ini adalah persamaan diferensial eksak.

Langkah 4:

Carilah fungsi ϕ(x,y)

Fungsi ϕ(x,y) dapat dicari dengan menghitung integral tunggal sebagai berikut:

ϕ(x,y) = ∫ (2x + y) dx = x^2 + xy + C(y)

Selanjutnya, hitung turunan fungsi ϕ(x,y) berdasarkan variabel y.

∂ϕ/∂y = x + C'(y)

Tetapkan ∂ϕ/∂y = N(x,y) = x + 2y

Maka, x + C'(y) = x + 2y

Sehingga, C'(y) = y

Integralkan persamaan ini untuk mendapatkan C(y).

C(y) = (y^2)/2

Fungsi ϕ(x,y) menjadi:

ϕ(x,y) = x^2 + xy + (y^2)/2

Langkah 5:

Hitung fungsi ϕ(x,y) untuk mendapatkan solusi persamaan diferensial eksak.

Solusi dari persamaan diferensial eksak ini adalah ϕ(x,y) = x^2 + xy + (y^2)/2 = C.

Contoh Soal 2:

Tentukan solusi dari persamaan diferensial eksak berikut ini:

(y^3 + x^2) dx + 3xy^2 dy = 0

Jawaban:

Langkah 1:

Diketahui persamaan diferensial eksak berikut: (y^3 + x^2) dx + 3xy^2 dy = 0

Langkah 2:

Hitung ∂M/∂y dan ∂N/∂x

∂M/∂y = 3y^2

∂N/∂x = 2x

Langkah 3:

Periksa apakah ∂M/∂y sama dengan ∂N/∂x

Karena ∂M/∂y tidak sama dengan ∂N/∂x, maka persamaan diferensial ini bukan persamaan diferensial eksak.

Langkah 4:

Gunakan faktor pengali untuk mengubah persamaan diferensial ini menjadi persamaan diferensial eksak

Faktor pengali yang digunakan adalah 1/(x^2 y)

Langkah 5:

Hitung persamaan diferensial eksak yang baru setelah menggunakan faktor pengali.

(y^3/x) dx + 3y dy/x = 0

Langkah 6:

Tentukan fungsi ϕ(x,y) dengan cara mencari integral tunggal.

ϕ(x,y) = ∫ (y^3/x) dx = (y^3 ln(x))/3 + C(y)

Selanjutnya, hitung turunan fungsi ϕ(x,y) berdasarkan variabel y.

∂ϕ/∂y = y^2 + C'(y)

Tetapkan ∂ϕ/∂y = N(x,y) = 3y/x

Maka, y^2 + C'(y) = 3y/x

Sehingga, C'(y) = 3y/x – y^2

Integralkan persamaan ini untuk mendapatkan C(y).

C(y) = (-y^3/3) + (x^2 y)/2

Fungsi ϕ(x,y) menjadi:

ϕ(x,y) = (y^3 ln(x))/3 – (y^3)/3 + (x^2 y)/2

Langkah 7:

Hitung fungsi ϕ(x,y) untuk mendapatkan solusi persamaan diferensial eksak.

Solusi dari persamaan diferensial eksak ini adalah ϕ(x,y) = (y^3 ln(x))/3 – (y^3)/3 + (x^2 y)/2 = C.

Related Post

Ads - Before Footer